[대수학]모노이드 범주
모노이드 $(M,\cdot)$는 대수학에서 다음 성질을 만족하는 대수적 구조다. $\forall a,b,c\in M$에 대해 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ $\forall a\in M,\ \exists e\in M \quad s.t. \quad e\cdot a=a\cdot e=a$ 동형사상 아래에서 위 법칙이 성립하는 범주를 모노이드 범주라 하며, $(\mathcal{C},\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$로 구성된다. 이들은 각각 다음과 같다. 범주 $\mathcal{C}$ 함자 $\otimes : \mathcal{C}\times \mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C}$ 대상 $I\in ob(\mathcal{C})$이를 ..
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[대수학]벡터 공간
벡터 공간 벡터 공간 $(V,+, \cdot)$은 체 $K$에 대한 가군으로 정의된다. 즉, 다음을 만족시키는 대수 구조를 벡터 공간이라 한다. $(V, +)$는 아벨군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다. 임의의 $u, v, w\in V$에 대해, $(u+v)+w=u+(v+w)$ 임의의 $u, v\in V$에 대해, $u+v=v+u$ 임의의 $u\in V$에 대해, $u+e=u$인 항등원 $e\in V$가 존재한다. 임의의 $u\in V$에 대해, $u+(-u)=e$인 역원 $-u\in V$가 존재한다. $(V,+,\cdot)$은 K의 가군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다. 임의의 $a,b\in K$ 및 $v\in V$에 대해, $a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v$ 임의의..
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