[대수학]벡터 공간

벡터 공간

벡터 공간 $(V,+, \cdot)$은 체 $K$에 대한 가군으로 정의된다. 즉, 다음을 만족시키는 대수 구조를 벡터 공간이라 한다.

• $(V, +)$는 아벨군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
  • 임의의 $u, v, w\in V$에 대해, $(u+v)+w=u+(v+w)$
  • 임의의 $u, v\in V$에 대해, $u+v=v+u$
  • 임의의 $u\in V$에 대해, $u+e=u$인 항등원 $e\in V$가 존재한다.
  • 임의의 $u\in V$에 대해, $u+(-u)=e$인 역원 $-u\in V$가 존재한다.
• $(V,+,\cdot)$은 K의 가군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
  • 임의의 $a,b\in K$ 및 $v\in V$에 대해, $a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v$
  • 임의의 $v\in V$에 대해, $e\cdot v=v$인 체의 곱셉의 항등원 $e\in K$가 존재한다.
  • 임의의 $a,b\in K$ 및 $v, u\in V$에 대해, $(a+b)\cdot (v+u)=a\cdot v+a\cdot u+b\cdot v+b\cdot u$

그리고 $V$의 원소를 벡터라 하고, 체 $K$의 원소를 스칼라라고 한다.

예를 들어 $V$를 양의 실수 $\mathbb{R}^+$로 정의하고, 체 K를 $\mathbb{R}$로 정의했을 때, 다음과 같은 대수구조 $(V, +,\cdot)$는 벡터 공간을 이룬다.

• +는 다음과 같이 정의된다. $v, u\in V$에 대해, $v+u=vu$, 즉 여기서 +는 실수의 곱으로 정의된다.
• $a\in K$ 및 $v\in V$에 대해 $a\cdot v=v^a$, 즉 여기서 $\cdot$은 지수 연산으로 정의된다.

그리고 위 벡터 공간에서 $V$의 원소들은 벡터가 되는 것이다.