[이산수학]선형대수학 기초

선형대수학은 해석학과 함께 응용 범위가 굉장히 넓은 수학 분야이다. 프로그래밍에서는 배열과 같은 개념들의 기반이 되어준다. 프로그래머 이외에도 공대생이라면 필수적으로 배우며, 주로 행렬을 다룬다.

 

1. 행렬과 기초 용어

행렬은 수를 직사각형 형태로 나열한 것을 의미한다. 예를 들면 다음과 같은 행렬이 있다.

$$ \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{pmatrix}$$

행렬은 다음과 같이 표기하기도 한다.

$$\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2} \\
\end{pmatrix}$$

($a_{1,1}$과 같이 성분의 위치가 일의 자리 숫자만으로 구성된 경우, $a_{11}$로 줄여서 쓰기도 한다.)

이 때, $a_{ij}$은 행렬 안에 배열된 구성원이다. 이를 성분이라 한다.

행렬은 행과 열로 구성되며, 행은 행렬의 가로줄, 열은 행렬의 세로줄을 의미한다.

그리고 m행, n열로 이루어진 행렬은 $m\times n$ 행렬이라 하며, 다음과 같이 표기한다.

$$A=(a_{ij})_{m\times n}$$

행렬은 대문자로 표기한다.

주대각선은 행렬의 $a_{ii}$번째 성분들을 가로지르는 선을 의미한다. $a_{ii}$번째 성분들은 대각성분이라 한다. 그리고 대각성분들을 제외한 모든 성분들이 0인 행렬을 대각행렬이라 한다.

만약 모든 성분이 0이라면 이를 영행렬이라 한다.

그리고 행렬의 행과 열을 바꾸어 얻어낸 행렬을 전치행렬이라 하며, 다음과 같이 표기한다.

$$(a_{ij})_{n\times m}^T=(a_{ji})_{m\times n}$$

만약 행렬 $A$에 대해서 $A^T=A$라면 이를 대칭행렬이라 한다.

그리고 행렬이 만약 $n$행 $n$열로 이루어진 행렬이라면 이를 정사각행렬이라 한다.

그리고 정사각행렬중에서 대각성분이 모두 1이고, 나머지 성분들은 모두 0이라면 이 행렬을 단위행렬이라 하며, $n\times n$ 단위행렬은 다음과 같이 표기한다.

$$I_n=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots  & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots  & 0 \\
0 & 0 & \ddots  & \vdots  & \vdots  \\
\vdots  & \vdots  & \cdots  & 1 & 0 \\
0 & 0 & \cdots  & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}_{n\times n}$$

 

2. 행렬 연산

행렬의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같이 정의된다.

$$A\pm B=(a_{ij})\pm (b_{ij})=(a_{ij}\pm b_{ij})$$

행렬의 상수배는 다음과 같다.

$$cA=(c\times a_{ij})$$

 

행렬곱은 $A=(a_{ij})_{m\times n}$과 $B=(b_{jk})_{n\times r}$에 대해 다음과 같이 정의된다.

$$AB=(c_{ik})_{m\times r}$$

단, $c_{ik}=\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}$

 

3. 역행력

역행렬이란 $AA^{-1}=I_n$이 되는 행렬 $A^{-1}$을 의미한다.

역행렬을 정의하기에 앞서, 행렬식과 수반행렬을 먼저 설명하겠다.

$M(A)_{ij}$를 행렬 $A$의 $i$행에 있는 성분들과 $j$열의 성분들을 제외한 나머지 성분들의 행렬, 즉 부분행렬이라 하자.

예를 들어 행렬 $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{pmatrix}$이 주어졌을 때, $M(A)_{11}$은 다음과 같다.

$$M(A)_{11}=\begin{pmatrix}
5 & 6 \\
8 & 9 \\
\end{pmatrix}$$

그렇다면 정사각행렬 $A=(a_{ij})_{n\times n}$의 행렬식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

$$\mathrm{det}\ A=\sum_{i=1}^n\left(-1\right)^{i+j}a_{ij}\mathrm{det}\ M(A)_{ij}$$

 

그리고 수반행렬은 다음과 같이 정의된다.

$$\mathrm{adj}\ A=(c_{ij})_{n\times n}^T$$

단, $c_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}\ M(A)_{ij}$

 

그렇다면 역행렬은 다음과 같이 정의된다.

$$A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\ A}{\mathrm{det}\ A}$$